Готовые проекты домов золотого сечения

You are using an outdated browser. Please upgrade your browser or activate Google Chrome Frame to improve your experience.

Вас приветсятвует коллектив компании «ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ»

Ощутите под ладонями теплое добротное дерево. На кухне витает пряный аромат шарлотки с корицей, а счастливые дети спокойно играют на лестнице. Откройте широкие окна и почувствуйте, как же легко Вам дышится. Выгляните, смелее – рядом с домом спокойное горное озеро. Можно выйти с чашечкой горячего травяного чая на веранду и насладиться всей этой первозданной красотой. Рядом настоящая русская банька из бруса да с березовыми венечками. Прямо здесь и сейчас Вы ощущаете себя Властелином своей Земли. Это все Ваше. И как же приятно после насыщенного дня заснуть на свежих хлопковых простынях.

-Настоящий Дом для настоящего Человека – вот к чему мы стремимся. Жить в единении с Природой – наше золотое правило.

Наша компания занимается строительством домов,коттеджей и геодезических жилых домов. cтратодезических домов. Реализацией ваших проектов занимается профессиональная команда специалистов. От проектирования до запуска в реализацию вашей мечты.

Используем самые передовые технологии на всех этапах строительства: фундамент , форма дома, утепление, кровля, система отопления и вентиляция. К нашим заказчикам мы всегда лояльны. За вами пожелание — за нами воплощение.

Опыт работников говорит о том, что у нас не вызовет сложностей возвести сооружение на местах старых построек или на участках повышенной сложности. Строительство домов, в лице нашей компании предлагаем строить по оптимально выгодным ценам, оперативно и качественно.

Принцип золотого сечения в строительстве дома. Золотое сечение в проектировании жилых домов

В древности люди осознавали, что окружающий их мир пребывает в гармонии и равновесии. Они прибегали к помощи мифов и религии, чтобы побольше узнать о порядке, которому подчинена природа. Сегодня мы обращаемся главным образом к ученым и математикам, чтобы они помогли нам объяснить то, что происходит в окружающем нас мире. Этот отказ от интуитивного и инстинктивного подхода и выражение большего доверия рациональным и интеллектуальным дисциплинам происходил постепенно. Однако был замечательный человек, который стоял в полный рост на перекрестке этих двух сил. Пифагор был выдающимся древнегреческим философом и математиком, который жил в VI веке до Рождества Христова. Он вывел теоремы, которые все мы изучаем и по сей день. Но, кроме этого, он также явился основоположником учения о сакральном значении чисел и математической науки. Согласно учению Пифагора, каждое число заключает в себе некий мистический компонент, который может быть осмыслен в процессе медитации и размышления. Он чувствовал, что понимание божественного значения математики открывает путь к тайнам всего космоса.

Одна из математических теорий Пифагора имеет огромное значение для дизайна наших домов. Он был убежден в том, что в природе существует органическая гармония, которая может быть выражена посредством чисел и пропорции, а также в то, что эти пропорции можно применять для строительства домов или других зданий. Используя принципы его теории Священной пропорции, можно «передвигать» энергию в своем доме из того места, где она ощущается как неблагополучная, в то место, где она начинает оказывать на вас благоприятное воздействие. Пропорции основаны на соотношении разных частей одного целого. Соотношение выражает разницу в размерах между двумя частями или свойствами. Оно определяет разницу между объектами или образами. Пропорции лежат в основе понятия об эстетике, позволяя уравновесить композицию, которая может создавать ощущение целостности и единства с окружающей средой.

Пифагор провозглашал совершенно определенные пропорциональные соотношения, которые он считал идеальными для благополучного существования людей. Он назвал это Золотой серединой (имея в виду, что такие пропорции представляют собой нечто среднее), Золотым сечением или Золотым прямоугольником. Эта магическая пропорция также иногда называется Священной пропорцией. Хотя древние архитекторы в культурных традициях всего мире уже были знакомы с магическим соотношением разных частей одного целого, Пифагор был тем человеком, который довел его до трансцендентного стандарта.

Такие пропорции, воплощенные в чем-либо, обычно радуют глаз, и они встречаются повсюду в естественной природе. Одним из примеров воплощения такой пропорции может быть раковина nautilus, где каждая отдельная часть идентична по форме той, которая следует за ней. И хотя они отличаются по размеру, все части имеют одинаковые пропорции, и все раковины имеют форму спирали, которая раскручивается из священной середины. Каждая часть раковины таким образом оставляет место для последующей части, являясь при этом воплощением магической спирали.

Золотое сечение также воплощено и в пропорциях человеческого тела. Известный рисунок Леонардо да Винчи, который соотносит пропорции тела человека с размерами геометрических фигур, является наглядным примером пропорций Золотого сечения. Древние архитекторы наблюдали за природой, и так они открыли Священную пропорцию. Они поняли, что такая пропорция является благоприятной для человеческой души. Людям обычно нравятся здания, построенные в классическом стиле.

Отчасти это происходит потому, что классическая архитектура часто основывается на древних традициях, которые основаны на пропорциях Золотого сечения. Пол камеры царя в Великой Пирамиде представляет собой великолепный образец воплощения пропорций Золотого сечения. Древнегреческие храмы, такие, как Парфенон на Акрополе близ Афин, также построены в соответствии с пропорциями Золотого сечения. То же самое можно сказать и о великолепном Тадж-Махале. Соборы и усыпальницы во Франции начиная с X века после Рождества Христова также строились в соответствии со Священной пропорцией, чтобы создать атмосферу, которая помогла бы молящимся испытывать трансцендентальные (т. е. созерцательные, философские — Прим, пер.) ощущения.

Соотношение этой классической пропорции равно 1:1,618, но для того чтобы использовать такие пропорции в своем доме, вам вовсе не надо делать сложные математические вычисления. Эта пропорция представляет собой инструмент, который доступен каждому, потому что, когда среда обитания соответствует правилу Золотой середины, она ощущается нами как «правильная». (См. далее способ определения Священной пропорции.) Вы можете использовать правило Золотой середины, когда расставляете мебель в своей комнате, создаете планировку сада, когда решаете, где должна висеть какая-то картина, а также при выборе дизайна сада или ландшафта.

Довольно просто использовать принципы Священной пропорции в своем доме. Кармен и ее муж переехали в дом, где гостиная была узкой и длинной. Она сказала, что каждый раз, когда она входила в комнату, она ощущала себя выжатой как лимон и пропорции комнаты давили на нее со всех сторон. Неприятные ощущения, которые она и ее муж испытывали в этой комнате, приводили к тому, что они просто не могли находиться в ней в течение хоть сколько-нибудь длительного времени. Используя принцип Золотого сечения, я показала им, где в их комнате проходит линия естественной пропорции. Я предложила им передвинуть мебель, чтобы подчеркнуть эту пропорцию, а кроме того, я предложила им использовать для этого цветы, лепные украшения и даже колонны, которые разделяли бы комнату на отдельные части. Они решили покрасить стены основной части комнаты в другой цвет, добавить лепнину и использовать мебель таким образом, чтобы она подчеркивала линии пропорций Золотого сечения. В конечном счете результат оказался просто замечательным, комната теперь «выглядела великолепно», и им нравилось проводить там время вдвоем.

РАСЧЕТ СВЯЩЕННОЙ ПРОПОРЦИИ В СВОЕМ ДОМЕ
Измерьте ширину комнаты. Умножьте ширину на 1,618, чтобы определить перфектную (нужную) длину. Например, если ширина комнаты равна 12 футам, то вы умножаете 12 футов на 1,618 и в результате получаете величину, равную 19,416, что


будет соответствовать длине комнаты. Вам не потребуется делать точные вычисления, чтобы определить нужный размер до последнего сантиметра, чтобы ваша комната стала соответствовать Священной пропорции. Сделанные вами приблизительные вычисления также могут дать великолепный результат, который вы сразу ощутите на себе. Нет ничего необычного в том, что, обустраивая свою комнату, вы можете пользоваться и сложными расчетами, чтобы разместить там отдельные предметы в соответствии с правилом Золотой середины. Это возможно по той причине, что вы можете чувствовать правильные пропорции. Как бы там ни было, в любом случае во всем, что касается дизайна вашего дома или офиса, вы всегда должны помнить, что в итоге вы должны спросить себя: «Испытываю ли я приятные ощущения?» Вы также можете использовать правило Золотого сечения, чтобы определить, как будет выглядеть ваш сад. Например, если ваш участок длинныи и узкий, то вы можете определить его размеры в соответствии с принципами Золотой середины и затем посадить живую изгородь или сделать клумбы, чтобы создать ощущение гармоничных пропорций. Вы также можете разбить свой сад на несколько Золотых прямоугольников. Садовые арки, дорожки, загородки и ворота — все это может с успехом быть использовано для подчеркивания линий, соответствующих правилу Золотой середины, и создания возможностей для трансформации ощущений. o Расставьте мебель в вашем доме и спланируйте свой сад в соответствии с правилами Священной пропорции. o Поместите в вашем доме раковину наутилуса. o Купите и сделайте сами раму для зеркала и для картины таких размеров, чтобы они соответство вали Священным пропорциям. o Купите цветы, соцветия которых имеют пять лепестков (живые или искусственные) и поставьте их дома или в офисе, например, розы, а также съедобные плоды тех растений, соцветия которых имеют пять лепестков. Фэн-шуй так же, как и архитектура, основывается на определенных правилах и подчиняется своим определенным законам, но эти правила и законы были определены людьми, которые, устанавливая их, руководствовались прежде всего своей интуицией, хорошо понимая, что им нужно и что им подходит лучше всего. Использование правила Золотой середины почти всегда и везде оказывает невероятное воздействие на окружающую среду. Однако, используя их, важно помнить и о необходимости всегда и во всем полагаться на свою собственную интуицию. Другими словами, даже в том случае, если вы все сделали в соответствии с законами Золотой середины, это не всегда может ощущаться вами хорошо, и это будет плохой фэн-шуй.

Привлекательность небольшого жилого дома зависит от многих причин и прежде всего от плана, от пропорции всего здания и его частей, от характера строительных материалов, качества работы, благоустройства участка.

При «глухом» и замкнутом в прямоугольник плане может получиться дом-коробка. В то же время умелая компоновка плана позволяет создать уютную, солнечную, закрытую с двух сторон террасу, а расположение окон на всех сторонах дома дает возможность избежать некрасивых глухих стен.

Так закладывается основа будущей привлекательности нового дома. На облик его, далее, в большой мере влияют хорошие пропорции сооружения, то есть гармоничное соотношение общих размеров постройки и его частей. Узкими, задранными вверх окнами или несуразной крышей можно испортить вид любого дома. Особенно важно не сделать зрительно «тяжелым» его верх. Поэтому крышу лучше построить остроконечную, прямую, а не с переломом.

Перелом делает крышу зрительно грузной, а весь дом некрасивым, похожим на гриб. К тому же крыша с переломом конструктивно сложнее прямой: у нее составные стропила со врубками, а нагрузка от кровли и снега через вертикальные стойки передается на потолочные балки, которые приходится делать излишне прочными и на всю ширину дома. А ведь часто бывает выгоднее сделать легкое щитовое перекрытие с опорой на среднюю стену — перегородку. Это можно сделать при прямой крыше, и тогда вся нагрузка передается стропилами на наружные стены. Каких-либо дополнительных удобств крыша с переломом не дает.

Желание многих людей сделать мансардные комнаты обязательно с отвесными стенами и плоским потолком необоснованное. В комнате с наклонным потолком жить уютнее, под скошенными частями потолка удобнее располагаются кресла и кровать. Маленькая верандочка с односкатной кровлей, прилепившаяся сбоку дома, удобна, но не украшает постройки. Если же ее накрыть двускатной крышей с коньком (под которой можно устроить спальные места или кладовку), то вид дома заметно изменится к лучшему, он станет наряднее и будет одинаково хорошо выглядеть с разных сторон.

Большое значение для внешнего вида дома имеет и конструкция самой веранды. До сего времени широко распространены веранды с частыми стойками, толстыми мелкими переплетами «ромбиком», в «елочку» или с еще более сложным узором. Подоконная доска у таких веранд обычно устроена высоко поэтому застекленная полоса получается узкой, а обшивка под ней несуразно широкой. На такой веранде всегда сумрачно и неуютно. Веранда — это переходное помещение от дома к участку, и чем более «открытой» она будет, тем станет лучше. Для этого прежде всего смело опустите ее пол на две ступени ниже пола в комнатах. Тогда веранда станет выше. Подоконную доску заложите на высоту 45 см от пола, то есть на уровне дивана и кресел. Это позволит, сидя в кресле, видеть сад, и вы как бы оказываетесь ближе к цветам и зелени. Очень важно сделать тонкие переплеты, а рамы навесить прямо на стойки, в которых выбраны четверти. Горизонтальные горбыльки должны быть тонкими (25-30 мм), врезанными в раму с таким расчетом, чтобы расстояние между ними было немного меньше расстояния между вертикальными обвязками рам. Практически створка рамы на веранде получается высотой 170-180 см при ширине 50-55 см, а расстояние между горбыльками — 40-45 см.

В большой степени на облик дома влияет и крыльцо. Оно должно не только защищать дверь от дождя, но и являться хорошим местом для отдыха. Иногда открытую часть крыльца совмещают с закрытой — сенями. Это удобно и красиво.

СОХРАНЯЙТЕ ЕСТЕСТВЕННУЮ КРАСОТУ МАТЕРИАЛА

Что это значит?
Вы, например, выложили цоколь из бутового камня. Достаточно «расшить», процарапать или прорезать по сырому раствору швы, очистить камни от цемента — и цоколь заиграет своей естественной красотой. И не вздумайте его штукатурить! Под слоем штукатурки погибнет естественная прелесть и красота материала.

Если стены вашего дома светлые — побеленные или оштукатуренные, то красная черепичная крыша будет для него хорошим украшением. А для красных кирпичных стен крышу лучше сделать из светлой черепицы или белого шифера. Попробуйте красные и белые плитки шифера выложить на крыше в шашку или решеткой, получится очень нарядно.

Гладкие красные кирпичные столбы у остекленной веранды рядом с белой стеной, оштукатуренной без затирки, с бугорками «под шубу» создадут приятное для глаза разнообразие, которого не достичь никакими украшениями. А если эти столбы со временем обовьет посаженный вами дикий виноград, если он покроет зеленым ковром также решетки у крыльца, то ваш дом станет очень красивым.

Светлый дом всегда выглядит приветливо. А его отдельные части — двери, переплеты окон, жалюзи или доски под свесами кровли — можно окрасить в яркие цвета. Это усилит жизнерадостный и привлекательный вид жилища.

Если дом деревянный — рубленый, красить его не надо. Дерево лучше всего покрыть олифой с добавкой умбры. Золотистый прозрачный слой предохранит от разрушения дерево, и в то же время будет виден весь естественный рисунок этого материала. На рисунке справа вверху схематически изображена крыша с переломом. Такая крыша конструктивно сложна и зрительно воспринимается «тяжелой». Прямая, остроконечная крыша проще в строительстве и красивее. Ниже нарисован фрагмент перголы — сквозной решетчатой крыши над террасой, сделанной из досок и реек. Рядом с перголой — чертеж трельяжной решетки для вьющейся зелени. Такие решетки создают уют на участке. Внизу — металлические, сварные оголовки для кирпичной и асбесто-цементной дымовых труб.

Многое зависит от качества работы. Ровная кладка, чисто остроганные тонкие переплеты, прямые ряды шифера или черепицы, аккуратные кобылки под свесом крыши, гладкая ровная покраска — все это придаст дому вид законченный и нарядный.

ВИД ДОМА ЗАВИСИТ ОТ БЛАГОУСТРОЙСТВА УЧАСТКА

На участке при доме большое значение имеют так называемые «малые формы». Это пергола — открытая терраса, у которой сделана только сквозная решетчатая крыша из жердей или реек, закрепленных на столбах. По ней будет виться плющ или дикий виноград. Можно сделать и так называемые трельяжные решетки, защищающие от любопытного взора тихие уголки возле дома, где хорошо загорать или просто отдыхать. Вьюнок или декоративные бобы, посаженные возле них, вскоре создадут непроницаемый для взгляда зеленый заслон. Такими решетками загораживают уборную и компостную кучу на участке. На стене под окнами хорошо повесить ящики для цветов.

Нарядно выглядят возле дома дорожки и площадки, вымощенные кирпичом в елочку, уложенные плоскими камнями или искусственными бетонными плитами, расколотыми на куски неправильной формы. В щелях между плитами или кирпичом посейте траву. Под перголой, куда через рейки попадает дождь, землю нужно вымостить кирпичом или камнем. Делается это так: по песчаному основанию выкладывают клетки из кирпича, а квадраты между ними забивают белым булыжником и скрепляют раствором. На такой обвитой виноградом террасе с каменным полом будет приятно работать, отдыхать, обедать или пить чай. Последним штрихом в строительстве вашего дома может быть металлический оголовок на трубе. Он защищает дымоход от дождя и снега и способствует усилению тяги. В то же время сварной или выкованный из железа оголовок с несложным орнаментом, флюгером-стрелой или фигуркой на макушке придаст дому веселый и законченный облик.

ЗОЛОТО́Е СЕЧЕ́НИЕ , или БОЖЕ́СТВЕННАЯ ПРОПО́РЦИЯ (лат. Sectio aurea; Sectio Divina; пропорционирование) — идеальное соотношение величин, наилучшая и единственная пропорция, уравнивающая отношения частей какой-либо формы между собой и каждой части с целым, — основа гармонии.
Божественная пропорция зашифрована в магической пентаграмме — эмблеме союза пифагорейцев и в древнем китайском знаке «Тай Ши».

Первое упоминание о принципе золотого сечения находим в «Началах» Евклида.
Около 400 г. до н. э. великий александрийский геометр записал удивительное наблюдение:

При среднепропорциональном делении отрезка относительно его краев весь отрезок относится к бóльшей своей части, как бóльшая к меньшей.

Известно, что построить пропорцию золотого сечения можно с помощью линейки и циркуля. Разделим квадрат по горизонтали пополам. Проведем диагональ полуквадрата и, приняв ее за радиус, перенесем на вертикаль. Полученный прямоугольник будет прямоугольником золотого сечения.

В природе, окружающей человека действительности, так же, как и в искусственно созданных формах, содержатся математические отношения величин. Они бывают разного рода. Самые простые — отношения сторон квадрата (1:1) или прямоугольника, состоящего из двух квадратов (1:2). Подобные отношения, выражаемые целыми числами, называются кратными. Они часто встречаются в архитектуре — в планировке древних египетских и античных храмов, постройках А. Палладио в эпоху Итальянского Возрождения.

Более сложная зависимость, в которой уравниваются отношения различных по величине форм, называется пропорцией (лат. Pro-portio — «соотношение, соразмерность»). Например, 1:2=3:6 или 5:10=10:20. Во всех случаях правая и левая части пропорции будут равны, какие бы числовые значения в них ни подставляли. Но существуют еще более сложные, иррациональные соотношения, которые распространены, в частности, в истории архитектуры.
Они выражаются не целыми числами, а бесконечной дробью. Это отношение стороны квадрата к его диагонали (1:√2), высоты равностороннего треугольника к половине его основания (1:√3) (рис. 623), стороны двусмежного квадрата к его диагонали (1:√5).

Вызывает удивление, что не только простые целые числа, но и иррациональные являются модулем (лат. modulus — «мера») — наименьшей величиной, служащей единицей при построении более сложных форм в архитектуре, скульптуре, живописи. Так, хорошо известно, что планы и фасады древнеегипетских храмов содержат в себе отношения сторон двух квадратов (рис. 487, 488).

Но если измерить план Парфенона Афинского
Акрополя, являющегося символом гармонии в мировом искусстве, то окажется, что его длинная и короткая стороны соотносятся не кратно (к примеру, 1:2 или 1:4), а более сложно, иррационально (1:√5), т. е. как малая сторона и диагональ двусмежного квадрата (рис. 624). Таковы же соотношения планов, фасадов и ортогональных сечений византийских церквей, романских и готических соборов Западной Европы (см. пропорционирование). Спрашивается, почему возникает такая сложность, представляющая явное затруднение при метрической системе измерений? Зачем она нужна строителям? Доказано, что это не связано с особенностями конструкций, количеством колонн или физическими свойствами материалов.

Французский архитектор А. Фурнье де Кора, норвежская художница Е. Килланд и русский архитектор В. Н. Владимиров (1) независимо друг от друга пришли к модели, отражающей систему пропорционирования памятников искусства Древнего Египта.
Эта модель получила название: система диагоналей (рис. 625). Если мы возьмем квадрат (соотношение сторон 1:1) и спроецируем его диагональ (√2) на продолжение одной из сторон, а затем из полученной точки восстановим перпендикуляр, получим новую фигуру — прямоугольник. Проведя в нем диагональ, обнаружим, что она равна √3. Повторим операцию, получив новый прямоугольник с более длинной стороной. Диагональ этого прямоугольника будет равняться √4, то есть 2. Проецируя эту диагональ, как в предыдущих случаях, и восстановив перпендикуляр, получаем следующую фигуру: это хорошо нам знакомый двусмежный квадрат с диагональю √5. Внутри этого основного прямоугольника помещается ряд диагоналей и, соответственно, иррациональных отношений, связанных определенной последовательностью. Все числа системы диагоналей, как кратные, так и иррациональные, постоянно встречаются в египетском искусстве. Но, что самое важное, они прямо указывают на закономерность золотого сечения. К математическому решению этой задачи первым пришел древнегреческий мыслитель Пифагор Самосский (556-? гг. до н. э.), возможно используя учения египетских жрецов. Согласно легенде, Пифагор учился в Египте . После того как персидский царь Камбис II в 525 г. до н. э. захватил Египет, Пифагор попал в плен и был отправлен в Вавилон, где обучался у халдейских магов. Некоторое несоответствие исторических дат и фактов биографии философа заставляет усомниться в этой истории, но связь между египетской системой мер и теоремой Пифагора очевидна.

Известно, что первой задачей любого строителя является построение прямого угла. От этого зависит прочность сооружения. Наилучшая форма основания — квадрат, а проецирование центра тяжести постройки на середину основания (точку пересечения диагоналей квадрата) создает идеально устойчивую конструкцию. Именно так построены египетские пирамиды, буддийские ступы, башни, столпообразные и крестово-купольные храмы. В этих примерах проявляется взаимосвязь закономерностей земной гравитации, симметрии и метода пропорционирования.

Египтяне, безусловно, знали эти закономерности, но не пользовались сложными расчетами с иррациональными числами. Они решали задачу гениально просто. Брали мерный шнур — веревку, разделенную узлами на двенадцать равных частей, соединяли ее концы и, растягивая на земле, забивали колышки в землю на третьем, седьмом и двенадцатом делениях. При этом получался треугольник с отношениями сторон 3:4:5. Такой треугольник, согласно одной из основных аксиом геометрии, всегда будет прямоугольным (рис. 626). Построив прямой угол на земле, можно увеличивать его до любых размеров, строить план, переводить его в вертикальную плоскость. Похожий прием использовался и в европейском Средневековье (триангуляция). Древние греки называли египтян «гарпедонаптаи», или «харпедонафтами» (греч. Harpedonaptai — «натягивающие веревки» от Harpedone — «петля, аркан»). Египетские жрецы именовали треугольник с отношениями сторон 3:4:5 «священным египетским треугольником», символизирующим великую триаду богов: Исида, Осирис и их сын Гор (два катета и гипотенуза, олицетворяемая Гором-Соколом — егип. Hor — «высота, небо»). В ведийских гимнах древней Индии есть строки:

В свои сердца глубоко заглянувшим,
Открылось мудрым, что в Небытии
Есть Бытия родство. И протянули
Они косую длинную межу.
(Перевод К. Бальмонта)

Бытие и небытие сопоставляются с Исидой и Осирисом, межа — диагональ — с Гором (2). Числа 3, 4, 5, их сумма 12, числа 3 и 4, их сумма 7 — все они являются «священными» в культурах разных стран мира. Одна из гигантских пирамид в Гизе, пирамида Хафра, имеет отношение высоты к стороне квадратного основания как 2:3 (143,5 м: 215,25 м) и представляет собой в разрезе два египетских треугольника. Размеры другой пирамиды — Хуфу — определяются отношениями 1:√5 (высота 148,2 м к диагонали основания 325,7 м). Система построения пирамид достаточно сложна, но исходит из свойств «священного египетского треугольника».

Прямоугольный треугольник египтян имеет еще одно замечательное свойство: сумма квадратов его катетов равняется квадрату гипотенузы: 32+42=52 (9+16=25). Это и есть теорема Пифагора, возможно «подсмотренная» великим математиком и мистиком у египетских «гарпедонаптов». Она же является формулой золотого сечения! Графически теорема Пифагора изображается следующим образом — рис. 627. Нетрудно заметить, что она включает в себя прямоугольный треугольник со свойствами сторон, аналогичными «египетскому» (сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы), который одновременно является половиной двусмежного квадрата с диагональю — основной фигуры «египетской системы диагоналей».

Однако следующий шаг в создании универсальной теории гармонии был сделан только в эпоху Итальянского Возрождения — совместно выдающимся художником Леонардо да Винчи (1452-1519) и его другом, математиком, монахом-францисканцем Лукой Пачьоли (1445-1514). В 1496 г. в Милане Леонардо и Пачьоли начали работу над сочинением «О Божественной пропорции» («De Divina Proportione», 1496-1507). Иллюстрации к книге выполнял Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции Л. Пачьоли опубликовал новое издание книги. Леонардо принадлежит второе название: «Золотое сечение» (лат. «Sectio aurea», позднее франц. «Section d’Or»).

Графический способ построения идеальной «золотой пропорции», не требующий никаких вычислений, не изменился до настоящего времени и называется «способом архитекторов». Он прост, как все гениальное, и предполагает всего два движения циркулем (рис. 628). Малый катет «египетского треугольника» (размером 1) откладывается с помощью циркуля на гипотенузе (или, что то же самое, на диагонали двусмежного квадрата, равной √5). Затем остаток диагонали (√5-1) переносится противоположным движением циркуля на больший катет (равный 2). В результате большой катет будет разделен на две неравные части, при одном взгляде на которые ощущаются гармонические отношения. Эти ощущения можно проверить вычислением. Обозначим бо́льшую часть разделенного нами катета литерой «A», меньшую — «B». Тогда отношение всего катета (A+b) к его бо́льшей части (остатку диагонали) будет составлять 2/(√5-1). При любых значениях это отношение будет выражаться иррациональным числом, бесконечной дробью: 1,618033. Если же проверить отношение бо́льшей части (A) к меньшей части большого катета (B), то мы, на удивление, получим то же самое число: (√5-1)/(2-(√5-1))=1,618033. Эстетический смысл этой формулы состоит в том, что данная пропорция является единственно возможной, тем идеальным случаем, когда уравниваются отношения частей какой-либо величины (формы) между собой и каждой из этих частей с целым. Все прочие гармонические отношения связывают только отдельные части формы, а «золотая пропорция» связывает части и целое. Формулу красоты, следовательно, можно записать следующим образом: (A+b):A=a:B (целое относится к бо́льшей части так же, как бо́льшая часть относится к меньшей). От перемены мест членов этой пропорции результат не меняется. Во всех случаях мы будем получать одно и то же «золотое число».

Именно так пропорционирован фасад Парфенона в Афинах (рис. 629). Фасад (без треугольного фронтона) вписывается в «двусмежный квадрат». Колонна вместе с капителью составляет меньший член «золотой пропорции» (B=10,43 м), что, в частности, объясняет ее необычный, некратный размер. Больший член «золотой пропорции» (A) определяет общую высоту здания вместе с кровлей. Те же «золотые» отношения повторяются в деталях вплоть до мельчайших. Значение этой закономерности в эстетическом и художественном формообразовании громадно. Согласно принципу целостности, конструктивная основа любой композиции стремится к наиболее простой форме и ясным, легко воспринимаемым отношениям частей (см. гештальт). Эта эстетическая закономерность (в отличие от художественного формообразования) отражает всеобщий природный закон энтропии (греч. entropia — «превращение; стремление мировой энергии к равномерному состоянию»). Глаз человека устроен подобным же образом, он ищет простые, ясные отношения. Наибольшее удовольствие доставляют такие формы, в которых эти отношения выявлены, лежат на поверхности. И лучше всего, если они пронизывают сложную композицию единой закономерностью во всех ее частях, членениях, вплоть до самых мелких, незначительных. Тогда и возникает предчувствие мировой гармонии.

Художники всех времен, в большинстве случаев не зная правила «золотого сечения», так или иначе его ощущали и эмпирически приближались к идеальным пропорциям. Форматы живописных картин, икон, книг, листов писчей бумаги, отношения сторон оконных и дверных проемов классической архитектуры, форм мебели — столешниц, спинок кресел. все они приближаются к членениям катета египетского треугольника. Однако закономерно, что математическое обоснование появилось в эпоху Возрождения, время господства рационалистического мышления, и далее доминировало в искусстве Классицизма. Символично, что золотое число в теории формообразования принято обозначать греческой буквой φ («фи»), с которой начинается имя выдающегося скульптора античности. Это же число именуется «функцией золотого сечения» (существуют и другие, производные «золотые числа»).

К идее гармонического ряда чисел, независимо от других теоретиков, пришел математик-любитель из г. Пизы, торговец и путешественник Леонардо Фибоначчи (итал. Fibonacci — «Сын доброй природы»), или Леонардо Пизанский (1180-1240). Леонардо увлекался разного рода головоломками и однажды решил подсчитать возможный приплод кроликов, предположив, что каждая пара ежемесячно будет приносить еще по одной паре. У Фибоначчи получился ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 (к концу года получилось 144 пары кроликов). На самом деле этот ряд бесконечен. Его главное свойство заключается в том, что каждый последующий член равняется сумме двух предыдущих. Если же мы попробуем вычислять отношения соседних чисел, то каждый раз будем получать бесконечную дробь, в пределе стремящуюся к золотому числу (чем больше величины, тем ближе к искомому 1,618. или 0,618. в зависимости от того, делим ли мы большее на меньшее или меньшее на большее). Позднее Кеплер и Ньютон доказали, что отношениями численного ряда Фибоначчи определяются радиусы и периоды обращения планет вокруг Солнца, законы небесной и земной механики. Ботаники увидели эти числа в строении растений, зоологи — в раковинах моллюсков, кристаллографы — в структуре кристаллов, анатомы — в строении форм человеческого тела. Согласно античному канону Поликлета, если размер верхней части мужской фигуры (от пупка до макушки) принять за 1, то нижняя должна составить 1,618, а вся фигура — 2,618 (независимо от роста и полноты). Те же отношения определяют все детали вплоть до фаланг пальцев и частей лица («квадратные фигуры»).

Храм Соломона в Иерусалиме был построен на прямоугольнике с отношениями сторон 1:3. В кхмерском храме Ангкор-Ват высо́ты ярусов башен относятся как 6:13:42. В древнеримской архитектуре модулями пропорций были числа 2 и 5. В архитектуре Итальянского Возрождения золотые «отрезки» использовали Ф. Брунеллески, Л. Б. Альберти. В постройках А. Палладио постоянно встречаются отношения чисел 1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 13 (см. палладианство). В Палаццо Дожей в Венеции, необычном сооружении, казалось бы нарушающем все классические нормы, отношения верхней и нижней частей — 13:1. В истории древнерусской архитектуры количество глав, связанных с конструкцией храмов, также следует численному ряду Фибоначчи: 1, 3, 5, 9 (1+8, см. Василия Блаженного храм в Москве), 13 (храм Св. Софии в Киеве), 21 (церковь Преображения в Ки́жах). Отношения нижних ярусов колокольни «Иван Великий» в Москве, построенной в 1505-1508 гг. Боном Фрязиным, — 0,618:0,382. Подобные примеры можно приводить до бесконечности. А. Дюрер в гравюре «Меланхолия» (1514) изобразил магический квадрат с числами Фибоначчи. Картина Я. Фермейра (Вермера) Делфтского «Улочка» (ок. 1658), создающая необычайное ощущение покоя, гармонии, вся пронизана золотыми отношениями (рис. 630, 631). Форматы картин Н. Пуссена, художника французского Классицизма, как правило, определяются числами 5:4 или 6:4.

Древнерусские меры длины — са́жени (их насчитывают шесть) оказываются связанными между собой по такому же принципу, что и египетская система диагоналей. Они антропоморфны, и их отношения следуют функции золотого сечения. Русский архитектор-неоклассицист И. В. Жолтовский предложил использовать наряду с числом φ «удвоенную третью величину» (см. пропорционирование).

Божественная пропорция зашифрована в магической пентаграмме —
эмблеме союза пифагорейцев (рис. 632) и в древнем китайском знаке «Тай Ши» (см. также рис. 563). Можно заключить, что весь видимый мир, во всяком случае в пределах земной гравитации, следует законам симметрии, энтропии, наиболее экономному, рациональному формообразованию, и, следовательно, его структура выражается не искусственным, так называемым натуральным рядом чисел, а рядом Фибоначчи и золотой, Божественной пропорцией. Этому же закону подчиняются анатомия, физиология и психология человека. Вот почему произведения искусства, формообразование которых следует правилу золотого сечения, оказываются способными вступать с человеком в состояние «гармонического резонанса» (см. также алгоритм; логика красоты).

1 Fournier des Corats A. La Proportion Égyptienne et les Rapports de Divine Harmonie. Paris, 1957; Kielland E. Geometry in Egyptian Art. London, 1955; ВладимировВ. Пропорциивегипетскойархитектуре. М., 1944.

2 Шмелев И. Третья сигнальная система // Золотое сечение. М.: Стройиздат, 1990. С. 242. См. также: Шмелев И. Архитектор фараона. СПб.: Иск-во России, 1993. С. 26.

Крыша – важная конструктивная часть дома, выполняющая ряд наиважнейших функций. Она защищает от атмосферных напастей и отводит осадки, обеспечивает изоляцию и вносит солидный вклад в формирование собственного стиля строения. Для того чтобы столь значимое сооружение на «отлично» справлялось с доверенной работой, необходимо досконально продумать проект и скрупулезно разобраться с размерами.

Тщательный разбор и расчет двухскатной крыши требуется и самостоятельным мастерам, и владельцам загородной собственности, прибегающим к услугам строительных организаций. Давайте разберемся, как это правильно сделать.

Крыша, напоминающая в разрезе перевернутую литеру V, неспроста лидирует в списке скатных конструкций. По простоте сооружения и экономичности у двухскатной крыши практически нет соперников. Столетиями проверяемые на практике заложены в основе возведения большинства кровельных сооружений.

Незатейливые скатные плоскости не требуют сложного раскроя покрытия и прочих материалов, результатом которого становится внушительное количество отходов. Не нужны специфические ухищрения для воплощения замысловатых конфигураций. Осадки не задерживаются на наклонных поверхностях, поэтому нет необходимости в усилении гидроизоляции. В итоге устройство двухскатной крыши зачастую обходится дешевле односкатной.

Крыша с двумя скатами может быть самостоятельным объектом или частью комплекса сооружений аналогичной или отличной формы. Самый простой вариант ее не имеет встроенных слуховых окон и навесов над входным крыльцом, т.е. нет дополнительных переломов, хребтов и сопутствующих им ендов.

Отсутствие выпуклых и вогнутых углов лишает мастера «наслаждения» помучиться с рядом затруднительных операций. Опять же хозяева не получат мнимого удовольствия от протечек, нередко появляющихся в стыках скатных элементов крыши.

В принципе, любителям причудливой архитектуры никто не мешает оснастить два ската многочисленными встроенными конструкциями. Правда есть ограничения по климатическим признакам: в областях с высоким объемом зимних осадков возведение крыш с многочисленными составляющими нежелательно. В сформированных излишествами разжелобках создаются благоприятные условия для накапливания снежных залежей. Счищать их придется резвее обычного, а лишнее усердие в сфере удаления снега может стать причиной повреждения покрытия со всеми вытекающими.

Однако приверженцам простых и ясных форм тоже не стоит расслабляться. Конфигурация крыши углом должна быть идеально подобрана и рассчитана, иначе не сможет безупречно выполнять доверенную работу.

Несмотря на обманчивую элементарность, в определении оптимальной формы конструкции есть подвохи. Преодолеть и обойти их невозможно без знания технологических тонкостей, ведь все параметры сооружения взаимосвязаны:

• Ширина двухскатной крыши зависит от габаритов коробки и вида покрытия, которое в свою очередь влияет на подбор крутизны скатов.
• Уклон крыши зависит от климатических особенностей района строительства и от типа кровельного материала.
• Совокупность перечисленных обстоятельств, ширины и уклона, определяет высоту конструкции, которая в итоге может не соответствовать архитектурным требованиям и эстетическим соображениям.

У безукоризненно спроектированной крыши все пропорции подобраны идеально. Ширина и высота ее определяют подъем и уклон, необходимый для отвода осадков в конкретной местности. Ниже нельзя по техническим причинам, выше дорого и неразумно, если этого не требует уникальная архитектура.

Заметьте, что вкупе с увеличением крутизны растет бюджет строительства. Согласно уклону подбирают кровельный материал. Ориентируясь на его вес и специфику, проектируют и рассчитывают стропильный каркас. Расчет стропильного каркаса производят с учетом перечисленных параметров и с учетом нагрузок, действующих извне на конструкцию.

Взаимозависимость пропорций крыши, сложности устройства стропильного каркаса и нюансов подбора покрытия заставляет определять наилучшую форму путем банального подбора. Если что-то не подходит, заменяют или укрепляют несущие конструкции. Благо, и ассортимент на строительном рынке сейчас предостаточный, и для усиления сооружения разработаны всевозможные способы.

Если пугают предстоящие вычисления и перетасовка данных, лучше прибегнуть к беспроигрышному решению – типовому проекту. Не зря же за рубежом все дома одного населенного пункта оснащают крышами равной высоты и покрывают равнозначным по цвету и характеристикам материалом. Типизация позволяет выдержать ландшафтную идентичность и сократить расходы на проектировку.

Однако даже типовое проектное решение – не панацея от технических бед и эстетических недочетов. Нельзя забывать об индивидуальных габаритах коробки, над которой планируется возвести крышу. Соотечественниками отрицается уравниловка в высоте и крутизне, потому нам все же желательно разобраться с пропорциями кровельного сооружения.

Пошаговое проведение расчетов

Конфигурацию и габариты любой скатной крыши задает стропильный каркас. На ребра стропильных ног укладываются скаты, образующие двухгранный угол. Сооружают стропильные системы из металлопроката и древесины, используют в строительстве конструкции индустриального изготовления и пиломатериалы.

Давайте рассмотрим варианты, доступные для приложения усилий самостоятельного мастера, т.е. построечный метод возведения каркаса крыши из пиломатериалов.

Этап #1 – выбор вида стропильной системы

Способ сооружения двухскатной крыши связан с размерами опосредованно, но без учета разницы в устройстве конструкций трудно будет разобраться с геометрическими параметрами.

В строительстве двухскатных крыш используются две традиционные технологии:

• Наслонная , согласно которой у верха и низа стропилин есть прочная точка опоры. Нижней опорой служат стены дома, оснащенные мауэрлатом. Верх наслонных стропильных ног опирается на прогонную балку, формирующую конек. Прогонную балку опираются на сооруженную специально для нее опорную систему, на внутреннюю стену или на каменные фронтоны коробки, возведенные до устройства крыши. Наслонный способ преимущественно используют при обустройстве крупных домов с внутренней несущей стеной или рядом колон.
• Висячая , согласно которой стропила верхами упираются лишь друг в дружку. Опорой для низа служат стены, как и в предыдущем случае. Висячие стропильные ноги формируют равносторонний треугольник, основание которого называется затяжкой. В совокупности такая система не создает распор, т.е. не передает распирающую нагрузку на стенки коробки. Стропильные треугольники устанавливаются либо в готовом к монтажу, т.е. собранном на земле виде, либо сооружаются из отдельных стропилин на месте. Отсутствие верхней опоры вносит коррективы в сферу использования: висячий метод применяется в обустройстве только небольших строений с малыми пролетами.

Схемы стропильных систем обоих типов включают минимум конструктивных элементов при перекрытии коробок шириной до 8-10м.

При обустройстве пролетов крупнее возникает опасность деформации стропильных ног. Чтобы исключить провисание и прогиб деревянных деталей из пиломатериалов, устанавливают укрепляющие элементы: подкосы, схватки, боковые прогоны и др.

Дополнительные детали обеспечивают жесткость и устойчивость крупного сооружения, но увеличивают нагрузку. Как определяется суммарная нагрузка и производится , мы уже разбирали.

Этап #2 – расчет ширины

Оба типа деревянных стропильных систем сооружаются по балкам перекрытия или по мауэрлату. От типа основы зависит, как вычисляется ширина крыши:

• При монтаже на балки перекрытия именно они формируют карнизный свес, т.е. определяют габариты крыши.
• При установке на мауэрлат ширина крыши определяется путем сложения трех величин. Суммировать нужно ширину коробки и две проекции ширины карнизного свеса. Однако в расчетах используется только несущая часть ширины крыши, равная ширине коробки.

Функцию мауэрлата в каркасных постройках выполняет верхняя обвязка, заодно соединяющая разрозненные элементы в единый каркас. В деревянном строительстве мауэрлатом служит верхний венец, сложенный брусом или бревном.

В случае применения «балочной» схемы устройства используются так называемые матицы – брусья или бревна, уложенные под верхним венцом стопы в качестве перекрытия.

Карнизные свесы крыш, установленных на мауэрлат, могут быть сформированы непосредственно стропильными ногами, пришитыми к ним кобылками или кирпичным выступом. Последний вариант, естественно, применяется при возведении кирпичных стен. Выбор ширины свеса продиктован типом кровельного покрытия и материалом, из которого сложены стены.

• Для шиферной кровли не более 10см;
• Для битумной черепицы в интервале 30-40см;
• Для металлочерепицы 40-50см;
• Для профлиста 50см;
• Для керамической черепицы 50-60см.

Стены из бревна и бруса требуют усиленной защиты от косых дождей, потому свесы над ними обычно увеличивают на 10-15см. При превышении предельного значения ширины свеса, рекомендованного производителем, необходимо предусмотреть мероприятия по его укреплению.

Возможна установка наружных подкосов на стены или опорных столбов, которые одновременно смогут играть роль конструктивных элементов террасы, крыльца, веранды.

Этап #3 – определение уклона

Углу наклона скатов дозволено варьировать в широчайших пределах, в среднем от 10º до 60º с допустимыми отклонениями в обе стороны. Традиционно обе плоскости двухскатной крыши имеют равные углы наклона.

Даже в несимметричных конструкциях для жилых домов их в основном располагают под равным углом, а эффекта асимметрии добиваются путем сооружения разно-размерных скатов. Чаще всего различия в уклоне основных частей крыши наблюдаются при строительстве дачных домиков и бытовых объектов.

На процедуру определения оптимальной крутизны двухскатной крыши существенное влияние оказывают три фактора:

• Тип покрытия вкупе с весом предназначенной для него обрешетки. Вид кровельного материала определяет технологию монтажа и способ устройства основания для его крепления. Чем плотнее получается кровля, тем меньшее значение может быть у уклона. Чем меньше нахлестов и стыков между элементами покрытия, тем ниже разрешено быть крыше. И наоборот.
• Вес кровли вместе с . Расположенное под углом к горизонту тяжелое покрытие давит на основание только своей проекцией. Короче, чем выше уклон, тем меньшая масса передается на перекрытие. Т.е. под тяжелую кровлю нужно строить крутую крышу.
• Климатическая специфика региона. Высокий уклон способствует быстрому отведению снега и воды, что крайне желательно в областях со значительным уровнем выпадения осадков. Однако высокие скаты очень чувствительны к воздействию ветров, стремящихся их опрокинуть. Потому в регионах с характерными сильными ветрами принято строить пологие конструкции, а в районах с изобильными осадками – крыши с высоким уклоном.

В нормативной документации, применяемой в расчетах углов для возведения двухскатных крыш, встречаются единицы, способные сбить с толку неопытных в кровельном деле домашних строителей. Самая простая величина выражена в безразмерных единицах, самая понятная – в градусах.

Вторая версия передает соотношение высоты крыши к половине ее ширины. Для ее определения проводится линия от центральной точки перекрытия к вершине кровельного треугольника. Реальную линию проводят на схеме дома, воображаемую на объекте. Обозначается величина или в процентах, или в виде математического отношения типа 1: 2,5… 1: 5 и др. В процентах мудренее и неудобней.

Этап #4 – определение высоты конька

У крыши с двумя скатами по желанию хозяина может быть или не быть чердак. В чердачных пространствах двухскатных крыш не положено устраивать полезные помещения. Для этого существует . Однако высота чердака, применяемого для обслуживания и осмотра крыш углом, не является произвольной.

Согласно предписаниям противопожарной службы от вершины до перекрытия должно быть не меньше 1,6м. Верхний предел продиктован эстетическими убеждениями проектировщиков. Они утверждают, что если высота крыши больше высоты короба, то она словно «давит» на постройку.

Высоту расположения коньковой вершины для устроенных по балкам висячих крыш легче всего определить чертежным методом:

• Чертим схему коробки дома в масштабе.
• Ищем середину верхнего перекрытия.
• От середины вверх прокладываем ось симметрии.
• В любую из сторон от середины откладываем половину ширины крыши – получаем крайнюю точку свеса.
• С помощью транспортира от крайней точки свеса вычерчиваем прямую под углом, рекомендованным производителем кровельного покрытия. Точка ее пересечения с осью будет вершиной крыши. Измерим расстояние от вершины до перекрытия, получим высоту.

Чтобы получить полную картину, на схеме нужно аналогичным способом вычертить второй скат. Параллельно линиям вычерченных скатов надо провести еще две линии на расстоянии, равном толщине стропильных ног в том же масштабе.

Если не устроит конфигурация крыши, можно «поиграть» с высотой на бумаге, изменяя положение точки вершины и уклон крыши в разумных пределах. Те же манипуляции можно провести в одной из чертежных программ.

При вычерчивании абриса крыши, сооружаемой по наслонной технологии, следует учитывать толщину прогонной балки. При внушительной мощности она несколько сдвинет положение скатов.

Народные умельцы считают, что расчеты элементов стропильной системы для строительства двухскатной крыши можно вообще свести к вычислению только сечения прогона. Это самый нагруженный элемент, все остальные имеют право быть тоньше. К примеру, если расчеты покажут, что для конькового прогона потребуется материал 100×150мм, то для стропилин, опор, подкосов достаточно доски 50×150мм.

Процесс поиска высоты конструкций со свесами, сформированными кобылками, немногим отличается от описанной методы. Просто угол уклона вычерчивается не от крайней точки свеса, а от нижнего узла крепления стропилины к мауэрлату. В любом случае вариации с крутизной и размерами запланированной к строительству двухскатной крыши лучше подобрать на «бумаге», чем на стройплощадке.

Этап #5 – расчет расхода материала

Нормальный хозяин загодя задумывается о бюджете строительства. Правда, в предварительной смете по определению будут неточности. Процесс возведения двухскатной крыши наложит свои коррективы на первоначальный расчет материала, но выяснить объем основных трат поможет.

Предварительная смета должна включать:

• Брус для устройства мауэрлата. В жилищном строительстве используют пиломатериал сечением от 100×150мм до 200×200мм. Метраж рассчитывается по периметру коробки с 5% запасом на обработку и соединения. Аналогичный материал приобретается для устройства лежня, если он запроектирован.
• Доска для изготовления стропилин. Чаще всего для изготовления стропильных ног используют материал сечением от 25×150мм до 100×150мм. Метраж определяется путем умножения длины внешнего ребра на количество. Материал приобретают с запасом 15-20%.
• Доска или брусок для выполнения подкосов, затяжек и опор сечением 50×100, 100×100мм в зависимости от проекта. Тоже нужен запас примерно 10%.
• Материал для устройства обрешетки. Расход его зависит от типа финишного покрытия. Обрешетку сооружают либо сплошной, если будет производиться , либо разреженной под профнастил, металлочерепицу, обычную черепицу, шифер и пр.
• Рулонная гидроизоляция, метраж которой определяет вид кровли и крутизна. Высокие крыши покрывают водоизоляционным ковром только вдоль свесов, конька и в выпуклых или вогнутых углах. Пологие покрывают сплошным ковром.
• Финишное покрытие. Его количество вычисляют, суммируя площади скатов. Если имеются врезанные слуховые окна, то их площади тоже подсчитывают. Только вычисляют как прямоугольник, а не по факту. Количество запаса для укладки рекомендовано производителями покрытия.
• Материал для обшивки фронтонов и свесов.
• Уголки, пластины, саморезы, скобы, гвозди. Нужны анкера и шпильки, их количество подскажет проект.

Еще потребуются фасонные элементы для обустройства сквозных проходов через крышу, ендов, свесов, конька. Представленный набросок сметы действителен для холодной конструкции. Для утепленной крыши надо будет приобрести утеплитель и пароизоляционную пленку, брусок для контрообрешетки и материал для обшивки крыши изнутри.

Золотое сечение – гармоническая пропорция

В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство двух отношений: a: b = c: d.

Отрезок прямой АВ можно разделить на две части следующими способами:
на две равные части – АВ: АС = АВ: ВС;
на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);
таким образом, когда АВ: АС = АС: ВС.

Последнее и есть золотое деление или деление отрезка в крайнем и среднем отношении.

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a: b = b: c или с: b = b: а.

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с деления отрезка прямой в золотой пропорции с помощью циркуля и линейки.

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618. если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382. Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения описываются уравнением:

Решение этого уравнения:

Свойства золотого сечения создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Второе золотое сечение

Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44: 56.

Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56: 44.

На рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

Для нахождения отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов можно пользоваться пентаграммой.

Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник. Способ его построения разработал немецкий живописец и график Альбрехт Дюрер (1471. 1528). Пусть O – центр окружности, A – точка на окружности и Е – середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восставленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

История золотого сечения

Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор , древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Греки были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

Платон (427. 347 гг. до н.э.) также знал о золотом делении. Его диалог «Тимей » посвящен математическим и эстетическим воззрениям школы Пифагора и, в частности, вопросам золотого деления.

В фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции. При его раскопках обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах » Евклида . Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи , художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли , и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем. Лука Пачоли был учеником художника Пьеро делла Франчески, написавшего две книги, одна из которых называлась «О перспективе в живописи». Его считают творцом начертательной геометрии.

Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли не преминул назвать и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).

Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер . Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях. Дюрер пишет. «Необходимо, чтобы тот, кто что-либо умеет, обучил этому других, которые в этом нуждаются. Это я и вознамерился сделать».

Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению. Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен пропорциональный циркуль Дюрера.

Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).

Кеплер называл золотую пропорцию продолжающей саму себя «Устроена она так, – писал он, – что два младших члена этой нескончаемой пропорции в сумме дают третий член, а любые два последних члена, если их сложить, дают следующий член, причем та же пропорция сохраняется до бесконечности».

Построение ряда отрезков золотой пропорции можно производить как в сторону увеличения (возрастающий ряд), так и в сторону уменьшения (нисходящий ряд).

Если на прямой произвольной длины, отложить отрезок m, рядом откладываем отрезок M. На основании этих двух отрезков выстраиваем шкалу отрезков золотой пропорции восходящего и нисходящего рядов.

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в академический канон и, когда со временем в искусстве началась борьба с академической рутиной, в пылу борьбы «вместе с водой выплеснули и ребенка». Вновь «открыто» золотое сечение было в середине XIX в. В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования». С Цейзингом произошло именно то, что и должно было неминуемо произойти с исследователем, который рассматривает явление как таковое, без связи с другими явлениями. Он абсолютизировал пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. У Цейзинга были многочисленные последователи, но были и противники, которые объявили его учение о пропорциях «математической эстетикой».

Цейзинг проделал колоссальную работу. Он измерил около двух тысяч человеческих тел и пришел к выводу, что золотое сечение выражает средний статистический закон. Деление тела точкой пупа – важнейший показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13: 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8: 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1: 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Справедливость своей теории Цейзинг проверял на греческих статуях. Наиболее подробно он разработал пропорции Аполлона Бельведерского. Подверглись исследованию греческие вазы, архитектурные сооружения различных эпох, растения, животные, птичьи яйца, музыкальные тона, стихотворные размеры. Цейзинг дал определение золотому сечению, показал, как оно выражается в отрезках прямой и в цифрах. Когда цифры, выражающие длины отрезков, были получены, Цейзинг увидел, что они составляют ряд Фибоначчи, который можно продолжать до бесконечности в одну и в другую сторону. Следующая его книга имела название «Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве». В 1876 г. в России была издана небольшая книжка, почти брошюра, с изложением этого труда Цейзинга. Автор укрылся под инициалами Ю.Ф.В. В этом издании не упомянуто ни одно произведение живописи.

В конце XIX – начале XX вв. появилось немало чисто формалистических теории о применении золотого сечения в произведениях искусства и архитектуры. С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т.д.

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618: 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Фибоначчи так же занимался решением практических нужд торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16.

Обобщенное золотое сечение

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Ученые продолжали активно развивать теорию чисел Фибоначчи и золотого сечения. Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциация, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16. на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2. во втором – это сумма двух предыдущх чисел 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2. Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами?

Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Рассмотрим числовой ряд, S + 1 первых членов которого – единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через φS (n), то получим общую формулу φS (n) = φS (n – 1) + φS (n – S – 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 – ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4. новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения xS+1 – xS – 1 = 0.

Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 –знакомое классическое золотое сечение.

Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

Факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский ученый Э.М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы в термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть гипотезe о том, что золотые S-сечения есть числовые инварианты самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза может иметь фундаментальное значение для развития синергетики – новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.

С помощью кодов золотой S-пропорции можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с целыми коэффициентами.

Принципиальное отличие такого способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S > 0 оказываются иррациональными числами. Таким образом, новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» исторически сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения – числа рациональные. И лишь позже – после открытия пифагорийцами несоизмеримых отрезков – на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной первоосновы были выбраны натуральные числа – 10, 5, 2, – из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные числа.

Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.

В такой системе счисления любое натуральное число всегда представимо в виде конечной – а не бесконечной, как думали ранее! – суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изяществом, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик.

Принципы формообразования в природе

Все, что приобретало какую-то форму, образовывалось, росло, стремилось занять место в пространстве и сохранить себя. Это стремление находит осуществление в основном в двух вариантах – рост вверх или расстилание по поверхности земли и закручивание по спирали.

Раковина закручена по спирали. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десятисантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см. Спирали очень распространены в природе. Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. Он изучал ее и вывел уравнение спирали. Спираль, вычерченная по этому уравнению, называется его именем. Увеличение ее шага всегда равномерно. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Спираль увидели в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д. Совместная работа ботаников и математиков пролила свет на эти удивительные явления природы. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филотаксис), семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль «кривой жизни».

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение – цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

Рис. 13. Цикорий

Рис. 14. Ящерица живородящая

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы – симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение проявляется в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста.

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого.

Рис. 15. Яйцо птицы

Великий Гете, поэт, естествоиспытатель и художник (он рисовал и писал акварелью), мечтал о создании единого учения о форме, образовании и преобразовании органических тел. Это он ввел в научный обиход термин морфология.

Пьер Кюри в начале нашего столетия сформулировал ряд глубоких идей симметрии. Он утверждал, что нельзя рассматривать симметрию какого-либо тела, не учитывая симметрию окружающей среды.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов. Эти закономерности, как указано выше, есть в строении отдельных органов человека и тела в целом, а также проявляются в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия.
Золотое сечение и симметрия

Золотое сечение нельзя рассматривать само по себе, отдельно, без связи с симметрией. Великий русский кристаллограф Г.В. Вульф (1863. 1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии.

Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.

Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.
Кеплер И. О шестиугольных снежинках. – М., 1982.
Дюрер А. Дневники, письма, трактаты – Л., М., 1957.
Цеков-Карандаш Ц. О втором золотом сечении. – София, 1983.
Стахов А. Коды золотой пропорции.